Квантовая информатика
Что такое теоретическая физика
18.12.2009 16:50

В.П. ЯКОВЛЕВ

Профессор кафедры

Теоретической ядерной физики МИФИ

 

 

Доклад на ФЕСТИВАЛЕ НАУКИ

 

 

 

 

Москва, МИФИ,

11 октября 2008 г.

 

Cлайд 1

За последние два–три десятилетия сформировалась новая область знания о природе, объединившая  в себе квантовую механику и теорию информации.  К этой междисциплинарной науке относятся такие понятия как «квантовая информация», «квантовые вычисления» и «квантовый компьютер», которые написаны на слайде как название доклада. Сюда же можно еще добавить термины «квантовые алгоритмы» и «квантовая криптография». Все они обозначают принципиально иной, квантовый подход – в отличие от традиционного классического – к самому понятию информации и к законам, позволяющим этой информацией манипулировать, то есть записывать, хранить, обрабатывать, передавать, а также производить вычисления.

Cлайд 2

 

 

 

Как-то так негласно повелось, что, начиная разговор о квантовой информации, показывают этот комикс, взятый с обложки специального выпуска журнала Physics World (March 1998). Реплики, которыми обмениваются традиционные действующие лица коммуникационной схемы Алиса  и Боб, призваны  обратить внимание на тот факт, что законы квантовой механики, действующие в реальном физическом мире, зачастую приводят к совершенно необычным, парадоксальным, если угодно, контринтуитивным  последствиям, будучи примененными  к такому, казалось бы, сугубо классическому понятию, каким нам представляется информация.



 

Cлайд 3

 

В ближней ретроспективе отправным пунктом можно считать доклад Ричарда Фейнмана «Моделирование физики на компьютерах», который был сделан в 1981 году в Массачусетском технологическом институте (MIT) и опубликован в 1982 году вместе со статьёй «Квантово-механические компьютеры» (Int. J. Theor. Phys., 1982, V.21, P.467-488), и работу Дэвида Дойча «Квантовая теория, принцип Чёрча – Тьюринга и универсальный квантовый компьютер» (Proc. R.Soc. Lond., 1985, V. A400, P. 97-117). Эти работы положили начало пониманию того факта, что вычисления, основанные на законах квантовой механики, или, говоря более общим языком, процессы манипулирования квантовой информацией могут быть гораздо (например, даже экспоненциально) быстрее и эффективнее, чем для классической информации.  Количественный аспект этого утверждения является следствием нового качества, связанного с понятием квантовой информации.  В статье «Информация по сути физична»   (Physics Today, May 1991, P.23-29) Рольф Ландауэр высказал важное концептуальное положение, что информация, вообще говоря, не независима от физических процессов, которые используются для её записи и обработки. Если носителями информации являются квантовые системы, а роль элементарной ячейки для записи единицы информации играет, например, спиновое состояние ядра, или электронные состояния двухуровневого атома, то  такие состояния и, следовательно, представляемая ими информация подчиняются законам квантовой механики. При этом, как отметил в 1998 году Антон Цайлингер, квантовая механика открывает такие возможности манипулирования информацией, которые принципиально отсутствуют в любых классических устройствах.

 

 

Cлайд 4 Классическая информация и физические законы

Читая этот текст, или рассматривая комикс с Алисой и Бобом, мы воспринимаем какой-то объем информации. Эта информация формировалась, записывалась, преобразовывалась, передавалась и …опять преобразовывалась, то есть существовала в совершенно разных модификациях. Вот только несколько заключительных этапов: запись в виде электрической и магнитной структуры на твердом диске Вашего PC, потом изображение на жидкокристаллическом экране монитора, оно далее в виде светового потока проходит через биологическую оптическую систему – хрусталик глаза, светочувствительные элементы сетчатки формируют импульсы, которые по нервным волокнам попадают в мозговые центры, где расшифровываются… Все это классическая информация. Ее поведение никак не связано с физическими законами, которые определяют функционирование  устройств, применяемых для манипулирования собственно информацией.  Это относится и к существующим классическим компьютерам.

Классическая информация выступает как абстрактный объект, который является предметом математического исчисления в теории информации. Единицей информации является бит – величина, принимающая два значения: либо 0, либо 1. В регистре, содержащем n битов, представлена некоторая конкретная цепочка , состоящая из нулей и единиц, которая осуществляет двоичную запись числа x. В каждом конкретном случае в n-битовом классическом регистре записано только одно число. Всего же в нем можно записать любое из N=2n различных чисел x от 0 до 2n -1. Информационная емкость такого регистра, т.е. количество записанной в нем информации, есть число битов . Это выражение легко понять из следующих простых соображений. Чтобы отгадать неизвестное Вам число из совокупности N чисел, надо узнать его двоичную запись, а для этого достаточно задать не более n вопросов, получая на каждый из них ответ «да» или «нет», то есть ровно один бит информации.

Для записи одного бита используется ячейка, представляющая собой некоторый физический элемент - триггер, который имеет два устойчивых состояния. В качестве такого элемента обычно используется полупроводник. Для наглядности можно говорить, например, о некоторой области с достаточно высокой концентрацией примесей, которыми допирован полупроводник. Тогда физически различимые состояния определяются, например, отсутствием или наличием заряда (потенциала) на такой примеси. Это может быть ток в микроконтуре электронной схемы, который протекает или не протекает при разных знаках приложенного потенциала, и т.д. Состояния триггера отождествляются с нулем  и единицей  и, тем самым, реализуют два значения бита информации. Практически используемые в настоящее время те или иные ячейки для записи единицы информации являются вполне макроскопическими физическими системами, содержащими большое число таких собственно квантовых объектов как атомы или электроны. Когда мы говорим, что ячейка заряжена (или не заряжена), то речь идет о вполне макроскопическом заряде, который на несколько порядков больше заряда электрона ед. СГСЭ. Атрибуты информации (логические 0 и 1) связаны с макроскопическими характеристиками триггера. Что же касается поведения зарядов, токов, потенциалов, то оно определяется физическими, как правило, квантовыми законами. Именно эти законы определяют такие важные характеристика как скорости необратимых релаксационных процессов, степень чувствительности системы к воздействию управляющих элементов и возможные механизмы таких воздействий. Физические законы, управляющие поведением ячеек, однако, никак не связаны с математическими законами, которые описывают процессы манипулирования информацией, представленной системой битов. В такой ситуации мы говорим о классической информации. Можно сказать и по-другому: математические законы, управляющие классической информацией, не связаны с физическими законами, описывающими поведение ячеек – носителей бита информации.

Вся архитектура систем обработки информации, их масштабируемость, объем памяти, быстродействие имеют отчетливую тенденцию к миниатюризации составных элементов. О степени миниатюризации  можно судить по минимальному контролируемому размеру в архитектуре микросхем. Эту величину называют топологическим стандартом. На сегодняшний день он составляет 45 нм. Моноатомный слой в виде площадки с таким линейным размером содержит порядка 1.5 – 2 тыс. атомов. Тогда в ячейку, содержащую несколько слоев, будет входить порядка 5-10 тыс. атомов. Согласно реалистическим прогнозам уже чуть ли не в этом году возможен переход на топологический стандарт 22 нм. Совершенно очевидно, что технологическая составляющая задачи миниатюризации элементов информационных устройств стоит на первом месте и играет ключевую роль.

Cлайд 5 О темпах процесса миниатюризации

На этом слайде очень плохого качества показан график двадцатилетней давности, из которого можно получить представления о темпах процесса миниатюризации до 1988 года. Число внедренных в биполярные транзисторы примесей, на которых строятся элементарные логические элементы, убывает экспоненциально. В логарифмическом масштабе, использованном на  графике, это выглядит как убывающая прямая линия. Экстраполяция к нынешним годам дает числа, про которые можно сказать, разумеется, с определенной натяжкой, что они отражают реалии сегодняшнего дня, о которых мы говорили выше. По-видимому, в обозримом будущем технологический прогресс приведет к тому, что вместо двух классических макроскопических состояний триггера, которые служат для идентификации двух значений бита информации, мы будем иметь дело с двумя квантовыми состояниями той или иной простой квантовой системы, то есть окажемся в области квантовых законов манипулирования информации. В такой ситуации само понятие информации приобретает качественно новое звучание, поскольку носителем ее являются квантовые состояния, поведение которых подчиняется законам квантовой механики. Именно этот аспект обсуждается в данном докладе.

Cлайд 6 Кубиты и их физическая реализация

Пусть для записи одного бита информации используются два квантовых состояния какой-либо простой квантовой системы. Такую систему называют кубитом. Это название было предложено Б. Шумахером и является сокращением выражения  “квантовый бит”. На первый взгляд может показаться, что такая система просто играет роль классического триггера, но только, разве что, существенно меньшего размера. На самом деле, как мы увидим ниже, ситуация совершенно иная.

Важным и широко используемым в качестве кубита физическим объектом является фотон. Его состояние характеризуется не только частотой и направлением распространения, но и поляризацией. Два линейно независимых поляризационных состояния, которые задаются единичными векторами 1 и 2,   ортогональными волновому вектору играют роль базисных состояний кубита.  Управление поляризационным кубитом осуществляется, например, с помощью хорошо известных оптических систем. Целый ряд впечатляющих экспериментов, таких как проверка неравенств Белла, квантовая телепортации, которые продемонстрировали возможности манипулирования квантовой информацией, был выполнен с кубитами, построенными на поляризационных состояниях фотонов.

В качестве кубита можно использовать два внутренних (электронных) состояния атома или иона, обозначенных на слайде как основное (ground) и возбужденное (exited). Перспективность таких систем обусловлена структурным многообразием связанных атомных состояний. В качестве базисных состояний используются, например, две компоненты тонкой или сверхтонкой структуры атомного спектра, которые разделены малым энергетическим интервалом. Такую двухуровневую систему иногда называют энергетическим спином. Ее управление осуществляется с помощью резонансного микроволнового поля. Существенным фактором является то, что с помощью внешних электромагнитных полей, действующих на других переходах той же атомной системы, можно осуществить эффективное охлаждение и пространственную локализацию атомов и ионов.

 

Cлайд 7 Спиновый кубит

Физической системой, которая, можно сказать, самой природой создана для реализации кубита, является частица со спином S = , то есть имеющая собственный механический момент S. Наличие такого момента является сугубо квантовым свойством, не имеющим аналога в классической физике.  Проекция спина   на любую ось может принимать только два значения: + и . Показанные на слайде №7 спиновые состояния  с определенными значениями проекции спина на некоторую ось z, которую называют осью квантования, образуют полный набор спиновых состояний. Они выбираются в качестве базисных  состояний кубита и, с определенной долей условности, изображены в виде кружков с вертикальными  стрелками.

Многие частицы - электроны, нейтроны, протоны и другие обладают спином и, в принципе, могут быть использованы для реализации кубитов на спиновых состояниях. В настоящее время для экспериментальной реализации спиновых кубитов используется атомные ядра со спином такие, например, как 1Н, то есть ядро водорода – протон, изотоп углерода 13С,  ядро азота 15N, которые входят в состав больших органических молекул. Пространственное расположение этих кубитов определяется  внутримолекулярным взаимодействием. Воздействие на кубиты осуществляется с помощью магнитных полей разной конфигурации и основано на эффекте Зеемана для ядерных магнитных моментов и резонансных переходов между  подуровнями. Такие подходы детально разработаны в методе ядерного магнитного резонанса (ЯМР).

 

Cлайд 8 Квантовые состояния и обозначения Дирака

 

Этот слайд играет вспомогательную роль и поясняет, что абстрактный вектор квантового состояния  обозначается с помощью угловой скобки, внутри которой может быть поставлен тот или иной символ, идентифицирующий данное квантовое состояние. Два базисных состояния кубита обычно  обозначают двумя значениями, 0 и 1, двоичной величины. Тем самым, эти два числа оказываются представленными соответствующими квантовыми состояниями кубита. Угловые скобки для обозначения квантовых состояний придумал Поль Андриен Морис Дирак, разделив полную скобку - bra(c)ket – на две половины, изображающие, так называемые,  кэт-векторы и дуальные им бра-векторы. Совокупность всех возможных кэт-векторов образует гильбертово пространство состояний данной квантовой системы.

Cлайд 9 Кубит и принцип суперпозиции

 

В соответствии с фундаментальным законом квантовой механики – принципом суперпозиции – кубит как квантовый объект может находиться не только в одном из своих базисных состояний и ,  но и в когерентной суперпозиции этих состояний с произвольными комплексными коэффициентами α и β. Квадраты модулей этих коэффициентов определяют меру (вероятность) присутствия в квантовом состоянии кубита каждого из базисных векторов, то есть вероятности того или иного значения двоичной переменной. Более того, комплексные коэффициенты фиксируют фазовое соотношение между этими состояниями.

В отличие от классической ячейки, которая может находиться либо в состоянии “0”, либо в состоянии “ 1”, произвольное состояние кубита оказывается таким, что в нем с некоторыми вероятностями, но одновременно, представлены и “0” и ”1”. Если приведенная на слайде фраза Гамлета вполне отвечает состоянию классического бита, то для кубита она должна прозвучать иначе. Суперпозиционное состояние демонстрирует своеобразную природу информации, которая записана с помощью кубитов. Будем называть ее квантовой информацией.  Поскольку используемые для записи информации  символы “0” и ”1” ставятся в соответствие базисным состояниям и , то можно сказать, с определенной долей условности, что в произвольном состоянии кубита эти символы представлены в виде когерентной суперпозиции, которая содержит сведения о вероятностях и фазах. Как известно, фазовые соотношения играют определяющую роль в таком явлении как интерференция. Манипулирование квантовой информацией, например, в процессе вычисления будет определяться тем, как меняются квантовые состояния, то есть сам процесс вычисления будет подчиняться квантовым законам. В таком процессе, который будем обозначать термином «квантовые вычисления» могут проявляться сугубо квантовые эффекты, такие как одновременная эволюция вдоль разных путей, дифракция, интерференция.  Тем самым открываются принципиально новые возможности для манипулирования информацией.

 

 

Cлайд 10 Многокубитовый регистр и квантовый параллелизм

Квантовую систему, состоящую из n кубитов, называют n-кубитовым регистром, а ее базисные состояния строятся как произведения n штук базисных векторов отдельных кубитов

 

 

Поскольку  для каждого кубита Сi = 0,1, то n-кубитовый регистр  имеет 2n базисных векторов, и размерность пространства состояний системы равна 2n.  Состоящую из нулей и единиц цепочку (Cn-1 Cn-2C1 C0) можно рассматривать как двоичную запись некоторого целого числа x, находящегося в пределах от 0 до 2n-1. Сам базисный вектор тоже можно обозначить как . Произвольное состояние n-кубитового регистра является суперпозицией всевозможных состояний , то есть в нем могут быть сразу записаны  все 2n чисел x от 0 до 2n-1. Поэтому квантовый регистр, содержащий достаточно большое число кубитов, обладает  экспоненциально большой информационной емкостью. На слайде написано состояние, в котором с одинаковыми амплитудами и фазами представлены все базисные векторы, изображающие в двоичном коде все числа x от 0 до .  Чтобы представить себе, что такое  экспоненциально большое число,  вспомним легенду о том, как изобретатель шахмат попросил у эмира, который захотел его наградить, дать за первую клетку одно зернышко, за вторую – два, за третью – четыре, и т.д. Оказалось, что такого количества зерна просто нет, а речь шла о числе 264 . Если  имеется регистр, содержащий n = 500 кубитов,  в нем можно записать сразу 2500 чисел, а это больше, чем число атомов во Вселенной.

Квантовые вычисления представляют собой преобразования состояний квантового регистра. Они обладают важным свойством, обусловленным принципом суперпозиции. Связанное с процедурой вычисления функции преобразование изображено на слайде  в виде прямоугольного блока с символом внутри. Если на вход подается такое квантовое состояние n-кубитового регистра, которое имеет вид суперпозиции , представляющей все числа x , то вычисление функции оказывается выполненным сразу для всех  2n значений ее аргумента. Это фундаментальное свойство квантовых вычислений называется квантовым параллелизмом. Идея квантового параллельного вычисления была сформулирована Давидом Дойчем в пионерской работе 1985 года.

Следует отметить, что полученные в результате квантового вычисления двоичные записи численных значений функции будут представлены все сразу, но в виде состояний, перепутанных с состояниями регистра данных. Это будет огромный объем квантовой информации, которая обладает, однако,  той особенностью, что при считывании большая ее часть, как правило, теряется. Это принципиальное свойство процесса  квантового измерения. Явление перепутывания квантовых  состояний выражается  в высоком уровне корреляций между подсистемами, которая может быть больше той, что следует из классических представлений.  Корреляции между кубитами, то есть между отдельными подсистемами полной квантовой системы, приводят к переработке экспоненциально большого объема квантовой информации. Классическому компьютеру для этого потребуется,  вообще говоря, экспоненциально большой ресурс. Благодаря своим корреляционным свойствам, перепутанные состояния играют фундаментальную роль в процессах манипулирования квантовой информацией. По существу явление перепутывания состояний выступает как парадигма квантовой информатики.

Cлайд 11 Перепутанные состояния

 

С точки зрения законов квантовой механики, так называемые, перепутанные состояния являются вполне рутинным свойством составных систем. Интрига заключена в той роли, которую эти состояния играют в квантовой информации. Первый намёк на существование специфической связи между теорией информации и квантовой физикой восходит к 1935 году, когда Альберт Эйнштейн, Борис Подольский и Натан Розен в статье под заголовком «Можно ли считать  квантово-механическое описание физической реальности полным?» (Phys. Rev., 1935, V.47, P.777 --780) сформулировали свой знаменитый парадокс, отражающий одну из принципиальных особенностей квантового мира, о которой теперь принято говорить как об отсутствии локального реализма.  Суть в том, что перепутывание квантовых состояний может выражаться в столь высокой степени корреляции  между подсистемами, которую невозможно описать в терминах только локальных характеристик этих подсистем. Такие корреляции существенным образом влияют на процессы манипулирования квантовой информацией. Важность явления перепутывания была понята Эрвином Шрёдингером, который в том же 1935 году опубликовал серию статей под общим заголовком «Современная ситуация в квантовой механике» (Die Naturwissenschaften, 1935, V. 23, P. 807-812, 823-828, 844-849). В этой работе,  одним из побудительных мотивов которой явилось обсуждение вопросов, поставленных в статье трех авторов, были проанализированы основы квантово-механического описания состояний физических систем и процессов измерения. В том числе было введено само понятие перепутывания двух квантовых систем (от немецкого Verchraenktheit zweier Quantesysteme). Две квантовые системы, находящиеся в перепутанном состоянии, называют ЭПР-парой.

В двухкубитовом спиновом состояния , которое написано на слайде, проекция спина ни той, ни другой частицы не имеет определенного значения, а с равными вероятностями может быть равной и , и . При этом спиновые состояния подсистем жестко (на все 100%) скоррелированны друг с другом. Действительно, произведем измерение проекции спина, например, первой частицы и получим тот или иной результат: либо , либо . Любой из этих результатов является случайным. Тогда вторая частица, которая не имела определенной проекции спина, после измерения, произведенного не над ней, а над другой частицей, будет с достоверностью находиться в состоянии с определенной, а именно, с противоположной проекцией спина. Тем самым значение указанной проекции оказывается однозначно скоррелированным со случайным результатом измерения, произведенного над первой частицей. Подчеркнем, что между частицами нет никакого взаимодействия. Они могут, например, находиться сколь угодно далеко друг от друга. Тогда кажущуюся парадоксальность ситуации можно выразить в виде следующего рассуждения по поводу спинового состояния одной из частиц, например, второй. Сначала ее спиновое состояние было полностью неопределенным, так

обе возможные проекции спина этой частицы были равноправными. Но как только измерена проекция первой частицы, с которой наша частица никак не взаимодействует, ее спиновое состояние становится совершенно определенным. Такая корреляция означает наличие у квантовых объектов качеств, которые нельзя описать в терминах только локальных характеристик этих объектов. Подобные корреляции не имеют аналога в классическом мире. Рассмотренное нами состояние является одним из четырех возможных максимально перепутанных двухкубитовых состояний Белла.

В 1964 году Джон Белл сформулировал утверждение, известное как неравенство Белла (Bell J.S. On the Einstein-Podolsky-Rosen paradox// Physics, 1964, V.1, P.195),  которое является математическим выражением различия между предсказаниями результатов измерения коррелирующих величин, сделанными на основе квантовой механики и исходя из классических представлений. Оказывается, что коэффициент корреляции для подсистем, находящихся в перепутанном квантовом состоянии, может превышать тот теоретический уровень корреляций , который определяется на основании любого физического закона, описывающего поведение частиц с помощью классических переменных, а не квантовых состояний. Тот факт, что в квантовой механике возможна более высокая степень корреляции между подсистемами, недостижимая в классическом мире, проверен и подтвержден в целом ряде изящных экспериментов. В контексте поставленного Ричардом Фейнманом вопроса о моделировании физики на компьютерах мы видим физическую реальность, поведение которой не может быть смоделировано, даже в принципе, на классическом компьютере.

 

Cлайд 12 Алгоритм квантового поиска

В классической теории информации известно, что для нахождения нужной записи в неупорядоченной базе данных, содержащей N записей, надо перебрать, в среднем, приблизительно половину элементов базы, то есть время поиска пропорционально размеру базы. Типичный пример из жизни - это телефонная книга, где есть фамилии и номера телефонов. Фамилии расположены в алфавитном порядке, а принадлежащие этим лицам номера телефонов образуют большую неупорядоченную совокупность чисел. Нас интересует фамилия человека, имеющего данный телефонный номер. Это задача поиска некоторого определенного числа среди неупорядоченной совокупности других чисел. Поиск сводится к тому, что надо брать, например, случайно, одно за другим числа x из этой совокупности и сравнивать с тем, которое нам нужно. С математической точки зрения наличие признака, отличающего нужное число от ненужного, означает, что есть некоторая функция , которая для интересующего нас значения равна, например, единице, а для всех других x она равна нулю. Эту функцию называют «оракулом».

В 1996 году Лов Гровер показал, что если заняться поиском «квантовой иголки в квантовом стоге сена», воспользовавшись сформулированным им алгоритмом, то время поиска сокращается до величины, пропорциональной . При больших N ускорение процедуры поиска оказывается весьма ощутимым.

При квантовом поиске на вход «квантового оракула» подается суперпозиционное состояние n-кубитового регистра, представляющее  все числа x от 0 до N-1, где . Поэтому  вычисление функции происходит за один шаг сразу для всех чисел. Так работает квантовый параллелизм. Суть алгоритма Гровера заключается в последовательном применении к состоянию входного регистра некоторого преобразования, которое модифицирует это состояние таким образом, что с каждым шагом амплитуда вероятности искомого состояния возрастет. Это преобразование  называют операцией Гровера. В него,  помимо  оракула , помечающего искомое состояние,  входит еще преобразование инверсии амплитуд относительно среднего значения.

Слайд №12 иллюстрирует поиск «квантовой иголки в квантовом стоге сена» из шести элементов. Показано, как меняются  амплитуды шести состояний . Сначала оракул в каждой операции Гровера меняет знак амплитуды искомого состояния , в данном случае – четвертого слева. Потом преобразование осуществляет инверсию амплитуд относительно среднего значения. Отчетливо видно значительное возрастание амплитуды искомого состояния уже после двукратного применения операции Гровера. В общем случае можно показать, что после числа шагов порядка состояние будет входить с коэффициентом, близким к единице, а амплитуды остальных состояний будут стремиться к нулю. После этого надо только измерить состояние регистра и получить двоичную запись числа . Таким образом, алгоритм квантового поиска в неупорядоченной базе данных дает полиномиальное ускорение по сравнению с расчетами на классическом компьютере. Абстрактная задача поиска относится к числу фундаментальных математических проблем. Это не только поиск в той или иной базе данных, но и определение, например, количества решений, так называемых, трудных задач, которые могут быть сформулированы как вопрос о существовании решения задачи поиска.

Слайд 13 Квантовый алгоритм Шора

Знаковым событием в становлении квантовой информатики явилось открытие в 1994 году Питером Шором квантового алгоритма для эффективной факторизации, то есть разложения на множители больших чисел. Этот результат привлек внимание широкой научной общественности потому, что проблема факторизации, известная каждому еще со школьной скамьи, выступает как своего рода «жупел» для вычислительной математики. Считается, хотя это и не доказано, что для больших чисел эта задача является трудной с точки зрения теории вычислительной сложности. Сложность разложения на множители лежит в основе защищенности и секретности наиболее надежных на сегодняшний день методов криптографии,  типа известной криптографической системы с открытым ключом RSA, разработанная в 1979 году Р. Ривестом, А. Шамиром и Л. Адлеманом. Возможность практического решения проблемы факторизации больших чисел выступает как демонстрация потенциальной мощи использования квантовых явлений для выполнения вычислений.

Вычислительная сложность определяется числом шагов (элементарных логических гейтов), фактически, временем, которое необходимо, чтобы с помощью наилучшего из известных алгоритмов решить задачу, то есть по информации, заданной на входе, получить результат на выходе. Для числа S количество информации определяется числом битов , необходимых для ее хранения. Задача считается легкой или решаемой, если число шагов зависит от n степенным образом. Задача считается трудной, если любой возможный алгоритм требует экспоненциального ресурса.

Наилучший известный классический алгоритм факторизации, так называемое «решето числового поля»,  требует экспоненциально большого количества шагов, если надо разложить на множители большое число S. Для факторизации числа, содержащего, скажем, 130 десятичных знаков, потребуется порядка шагов. При быстродействии вычисление займет 12 дней. Кстати, в 1994 году факторизацией 129-значного числа, известного как RSA 129, были заняты более полутора тысяч рабочих станций в течение 8 месяцев. Если увеличить число до 250 десятичных знаков, то при быстродействии для его факторизации понадобится несколько тысячелетий. Эти оценки дают представление о том, что такое трудная задача.

Задача факторизации обладает важной структурой, которая позволяет свести ее к другой трудной задаче - поиску периода длинной последовательности. Именно эту проблему квантовый алгоритм Шора эффективно решает с экспоненциальным ускорением по сравнению с известными классическими алгоритмами. Так, полная сеть гейтов, необходимых для реализации алгоритма Шора, содержит порядка логических элементов. Не вдаваясь в сложные математические детали, остановимся только на принципиальных моментах этого процесса квантового вычисления. Прежде всего,  работает квантовый параллелизм, позволяющий за один шаг вычислить некоторую периодическую функцию для экспоненциально большого числа значений дискретной переменной  a. Чтобы найти период этой функции, применяется, так называемое, квантовое преобразование Фурье. В результате состояние многокубитового регистра на выходе описывается формулой, представленной на слайде.  На этом процесс квантового вычисления заканчивается. Измерение состояний  кубитов первого регистра, который идентифицируются  числом с,  дает случайным образом какую-то двоичную строку , представленную в суперпозиционном состоянии.  Пусть вероятность этого результата есть . Ключевым моментом является именно квантовое распределение вероятности получения того или иного результата. Если функция имеет период , то сумма по a приводит к конструктивной интерференции большого числа коэффициентов в том случае, когда входящая в фазу величина кратна обратному периоду . Для всех других значений числа будет иметь место, в большей или меньшей степени, деструктивная интерференция. Это означает, что распределение вероятности найти первый регистр в состоянии будет иметь резкие пики вблизи значений , как это изображено на графике. Для получения периода и, следовательно, для успешного решения задачи факторизации большого числа достаточно процедуру квантового вычисление  повторить несколько раз. Еще раз подчеркнем,  что для реализации алгоритма Шора требуется  полиномиальное число шагов.

 

Слайд 14 Телепортация квантового состояния с помощью двойного канала – классического и квантового

 

Термин «квантовая телепортация» звучит интригующе, а  экспериментальная реализация в 1997 году процесса квантовой телепортации является одной из принципиальных вех на пути становления всей области квантовой информатики. Этот эффект прочно входит в современный арсенал, как принято говорить, квантовых протоколов. Теоретическая идея квантовой телепортации была сформулирована Беннетом, Брассардом, Крэпо, Джозсой, Пэрэсом и Вуттером в 1993 году. Они предложили процедуру передачи произвольного и неизвестного a priori квантового состояния от одной системы к другой удалённой квантовой системе. Слайд № 14 иллюстрирует схему этого процесса, в котором участвуют традиционные персонажи -   Алиса и Боб.

Следуя оригинальной работе, рассмотрим ситуацию, когда у Алисы есть одна частица, например, фотон, находящийся в некотором квантовом состоянии, которое является суперпозицией двух ортогональных поляризационных состояний и , то есть описывает некоторое общего вида состояние поляризационного кубита. Цель состоит в том, чтобы передать это состояние  Бобу, не передавая ему, естественно, сам данный фотон. Никаких сведений об амплитудах a и b у Алисы нет. Более того, располагая только одной частицей, Алиса даже в принципе не может получить полную информацию о комплексных коэффициентах a и b. Это вытекает из самого статуса процедуры квантового измерения. Случайный результат одного акта измерения, то есть кликнул или не кликнул детектор, свидетельствует только о присутствии или отсутствии выбранного базисного состояния в измеряемом состоянии. А повторить измерение уже нельзя, так как исходное состояние, вообще говоря, разрушается самим процессом первого измерения.

Оказывается, тем не менее, что состояние можно передать Бобу. И в этом суть протокола квантовой телепортации. Для этого используется вспомогательная пара частиц 2 и 3, находящихся в перепутанном квантовом состоянии. Пусть источник  ЭПР-пар  даёт антисимметричное поляризационное состояние Белла

,

и частица 2 попадает к Алисе, а частица  3 направляется к Бобу. Из этого выражения видно, что ни один из этих фотонов не имеет определённой поляризации, то есть не несёт никакой информации о поляризационном состоянии. Располагая двумя частицами, одна из которых (1) находится в состоянии , подлежащем телепортированию, а другая  (2) является одним из партнёров вспомогательной ЭПР-пары, Алиса производит совместное  измерение состояния этих двух частиц  (1 и 2), используя базис поляризационных состояний Белла. Это центральный момент протокола квантовой телепортации. Действительно, структура квантового состояния всей трёхчастичной системы оказывается такой, что при любом полученном Алисой результате измерения частица 3 будет находиться в состоянии, которое однозначно связано с передаваемым состоянием.  Если например, в результате измерения Алиса зарегистрировала состояние , то состояние частицы 3, находящейся у Боба, в точности совпадает с исходным телепортируемым состоянием. Если было зарегистрировано какое-то другое  из четырех возможных состояний Белла, то состояние частицы 3 должно быть подвергнуто некоторому вполне определенному преобразованию поляризации, и  тогда оно перейдёт в исходное передаваемое состояние. Чтобы завершить протокол квантовой телепортации, Алиса передаёт Бобу через классический канал связи информацию о результате измерения состояний Белла, а Боб производит соответствующее  преобразование состояния частицы 3, которое в результате будет точно совпадать с исходным состоянием частицы 1.

Таким образом, мы видим, что концепция перепутывания квантовых состояний является ключевым элементом квантового канала передачи информации. Ещё один принципиально новый момент, проявившийся в квантовой телепортации, состоит в том, что информация о квантовом состоянии может быть физически разложена на две составляющие – сугубо классическую и чисто квантовую, а потом восстановлена из них обратно. Квантовая составляющая «записана» в виде корреляций ЭПР-пары и сама по себе не содержит никакой информации о начальном квантовом состоянии, так же как и классическая составляющая. Однако после того как классическая и квантовая компоненты вновь объединяются, они полностью определяют исходное квантовое состояние.

 

Слайд 15 Экспериментальная реализация квантовой телепортации

В эксперименте, выполненном в 1997 году в Институте экспериментальной физики в Инсбруке группой А. Цайлингера, была осуществ­лена телепортация поляризационного состояния единичного фотона при помощи вспомогательной пары фотонов в перепутанном поляризацион­ном состоянии.

Не вдаваясь в многочисленные детали и тонкости, остановимся толь­ко на двух принципиальных элементах экспериментальной установки – источнике ЭПР-пар и анализаторе состояний Белла. Для получения пар фотонов использовался процесс спонтанного парамет­рического рассеяния света в кристалле бета-бората бария, который об­ладает большой нелинейной восприимчивостью второго порядка. В ре­зультате такого процесса, который изображён на слайде №15, падающий на кристалл фотон с частотой ультрафиолетового диапазона преобразу­ется в два фотона с меньшими, но близкими частотами. Для того, чтобы иметь перепутывание по поляризациям, использовалась определённая ориентация оптической оси кристалла относительно направления падающего излучения, при которой фотоны образовавшейся пары имеют две ортогональные поляризации. Волновые векторы этих фотонов ориентированы симметричным образом вблизи двух конических поверхностей, оси которых образуют некоторый угол. При этом излучение вдоль одного из конусов имеет, скажем, «вертикальную» поляризацию, обозначенную как , а вдоль другого – «горизонтальную», . Описанный процесс называют в литературе неколлинеарной даун-конверсией с синхронизмом второго типа.

Теперь обратим внимание, что два фотона той пары, которые распространяются вдоль линий пересечения конических поверхностей, не обладают определённой поляризацией, а находятся в перепутанном поляризационном состоянии. На проекции, показанной на слайде, перепутанной паре отвечают зачернённые области.

Слайд 16

В качестве анализатора состояний Белла был использован простой оптический элемент – светоделитель, схематически представленный на слайде №16. Он представляет собой пластину, изготовленную из диэлектрического материала, которая с вероятностями 50 на 50 процентов пропускает или отражает свет. Зеленая линия иллюстрирует этот процесс для фотона, падающего на светоделитель слева, а желтая отвечает фотону, приходящему справа. Суммарная картинка объясняет принцип работы светоделителя как анализатора поляризационных состояний Белла. Пусть два фотона с ортогональными поляризациями одновременно попадают на светоделитель с разных сторон, то есть в двух входных каналах системы. Если процессы отражения и прохождения не меняют поляризацию, то для пары фотонов, которая покидает систему так, что в двух выходных каналах (справа и слева) есть по одному фотону, поляризация каждого из них не имеет определённого значения. Можно показать, что такая пара фотонов, отмеченных индексами 1 и 2,   оказывается в состоянии, перепутанном по поляризациям:

.

Этот результат обусловлен интерференцией квантовых состояний при наличии нескольких каналов. Данное антисимметричное перепутанное состояние является единственным из полного набора двухкубитовых состояний Белла, которое реализуется, когда выходящие фотоны находятся с разных сторон от светоделителя. Когда два детектора и в выходных каналах регистрируют событие совпадения фотоотсчётов, то это означает, что пара фотонов находится в состоянии .

Поскольку такое состояние является только одним из четырёх возможных состояний Белла, то данная простейшая схема, использованная в рассматриваемом эксперименте, обеспечивала лишь частичный анализ перепутанных поляризационных состояний. В настоящее время реализованы процессы квантовой телепортации с измерением полного набора поляризационных состояний Белла.

Для полноты картины скажем ещё, что в качестве внешнего фотона, поляризационное состояние которого было объектом квантовой телепор­тации, брался один из партнёров другой ЭПР-пары, возникавшей в кристалле под действием того же светового импульса накачки.

В заключение хотелось бы обратить внимание, что даже весьма схематичное описание эксперимента, приведённое выше, показывает, как много разнообразных физических явлений вовлечено в реализацию протокола квантовой телепортации.

 

 

Слайд 17 Ионы в ловушке как управляемый квантовый регистр

Познакомимся с некоторыми физическими устройствами, которые используются для манипулирования квантовой информацией.  Начнем с системы,  которая представляет  собой цепочку ионов в линейной ловушке Пауля (слайд №17), то есть является квантовым реги­стром, состоящим из кубитов, построенных на  внутренних состояниях ионов. Этими состояниями можно управлять с помощью лазерных импульсов. В принципиальном плане такое устройство является «кирпичиком», который нужен для построения квантового компьютера.

Цепочка ионов в линейной ловушке Пауля выглядит, если угодно,  как искусственный одномерный кристалл, параметры которого можно варьировать в широких пределах. С одной стороны, ионы обладают богатой структурой внутренних состоя­ний, что позволяет не только выбрать подходящий базис для кубита, но и иметь в распоряжении удобные атомные переходы для управления и счи­тывания кубита, а также сильные переходы для лазерного охлаждения ионов, С другой стороны, наличие заряда существенно упрощает про­блему пространственного удержания ионов в ловушке при соответству­ющем охлаждении. Типичная температура ионов, которая требуется для их удержания, должна быть порядка К. А вот для эффективного применения системы в качестве квантового регистра нужны температу­ры на два порядка ниже.

Один из вариантов линейной ловушки Пауля, схематически изображенной на слайде, содержит четыре продольных стержня, к которым приложены посто­янный и переменный высокочастотный потенциалы. Они создают поле с квад­рупольной конфигурацией, которое обеспечивает динамическое удержа­ние ионов в поперечном направлении. В направлении оси ловушки ионы удерживаются с помощью электростатического поля, создаваемого коль­цевыми электродами. Поперечный линейный размер области конфайнмента гораздо меньше продольного, так что ионы совершают квазиодно­мерное движение вдоль оси z в поле, которое хорошо описывается потенциалом гармонического осциллятора. Частоты радиальных и продольных колебаний иона зависят от конструк­ционных особенностей той или иной ловушки Пауля.  Например, что в линейной ловушке для ионов кальция, которая работает в Инсбруке, типичная частота радиальных колебаний составляет 1,2 МГц, а продольных – 200 кГц.  Последней частоте соответствует температура порядка К.

Слайд 18

 

На слайде №18 слева показана для иллюстрации структура уровней ионов кальция. Базисом кубита, который изображен двумя тёмными кружками, могут быть основ­ное состояние и метастабильное возбуждённое состояние ,  время жизни которого очень велико, порядка секунды.  Для лазерного охлаждения используется сильный переход - .

 

 

 

 

Слайд 19

 

Если в ло­вушку помещены несколько ионов, то в результате сильного кулоновского отталкивания, которое уравновешивается удерживающим потенциа­лом, ионы образуют одномерную цепочку. В упомянутой выше линейной ловушке в Инсбруке реализованы цепочки, содержащие до нескольких десятков ионов. Несколько фотографий на слайде №19 показывают экспериментальные результаты по наполнению  ловушки ионами. Расстояние между ионами  порядка 10 мкм. Эта характеристика очень важна, поскольку такие расстоя­ния позволяют воздействовать лазерным излучением на внутренние со­стояния каждого иона отдельно, то есть индивидуально управлять каж­дым кубитом. Цепочка ионов в ловушке может колебаться как целое, без измене­ния расстояния между частицами. Соответствующие колебательные спектры, то есть, как принято говорить, фононные возбуждения всего регистра накладываются на два  внутренних  энергетических состояния, относящихся к отдельному кубиту, и показаны на предыдущем слайде №18 справа. Отметим также, что есть и другие, более высокочастотные колебательные моды, когда расстояния между ионами в цепочке меняется. Такие моды называют «дышащими».

С помощью определенного импульса лазерного мы воздействуем на внутренние со­стояния одного иона, то есть индивидуально управляем отдельным   кубитом. За счет пространственной неоднородности светового поля происходит возбуждение фононов, и квантовая информация кубита  переносится в колебательную моду. Облучая далее соответствующим лазерным импульсом  другой ион цепочки, можно перенести квантовую информацию из фононной подсистемы  на любой другой кубит квантового регистра, реализовав, тем самым, двухкубитовую логическую операцию. Принципиальная схема, позволяющая реализовать универсальную двухкубитовую логическую операцию, так называемый гейт CNOT , то есть «управляемое НЕ», была предложена Цираком и Цоллером в 1995 году. Отметим, что квантовый логический элемент CNOT был впервые продемонстрирован экспериментально в 1995 году в Национальном институте стандартов и технологий (NIST) в Боулдере с помощью ловушки, содержащей один ион бериллия. Управляющим кубитом были два нижних колебательных состояния центра инерции иона, а внутренние состояния этого иона служили в качестве управляемого кубита.

 

 

Слайд 20 Квантовый компьютер на ядерных спинах

 

 

Модельные квантовые компьютеры с небольшим числом кубитов реализованы на спиновых состояниях ядер, входящих в сложные молекулы. Поскольку здесь используются детально разработанные методы ядерно-магнитной резонансной (ЯМР) спектроскопии, то такие компьютеры называют ЯМР - компьютерами. Манипулирование отдельными кубитами осуществляется с помощью конфигурации постоянного магнитного поля и переменного поля радиочастотного диапазона. При этом, так называемое, парное спин-спиновое взаимодействие приводит к взаимному влиянию кубитов друг на друга, что позволяет реализовать интересные квантовые вычисления, например, алгоритм квантового поиска Гровера.

Двухкубитовый квантовый компьютер, построенный в 1997  году И. Чангом с сотрудниками из IBM, Массачусетского технологического института (MIT) и Калифорнийского университета в Беркли,  оперирует с  ядром водорода (протоном) и ядром изотопа углерода в изотопически помеченной молекуле хлороформа (слайд №20). В том же году исследовательская группа Дж. Джонса  из Оксфорда реализовала модельный квантовый компьютер на двух ядрах водорода в молекуле частично дейтерированного цитозина. Как забавный факт отметим, что цитозин является одним из четырех базисных элементов, с помощью которых происходит кодирование информации в ДНК. Сейчас реализованы ЯМР – компьютеры, содержащие до пяти кубитов.

 

 

Слайд 21 Логические элементы на атомах в резонаторах

Обсудим ещё одну физическую систему, с помощью которой были успешно продемонстрированы простые логиче­ские элементы, необходимые для манипулирования квантовой информа­цией. Речь идёт об атомах, взаимодействующих с квантованным электро­магнитным полем в резонаторе. Физика таких систем является предме­том квантовой электродинамики резонаторов, нынешний статус которой определяется впечатляющими успехами в создании высокодоброт­ных резонаторов для полей как оптического, так и микроволнового диа­пазона. Эксперимен­ты с микроволновыми резонаторами, проводятся, например, в Гархинге (Германия) и в университете Эколь Нормаль в Париже.

Простейшей системой, позволяющей моделировать элементарные квантово-логические операции, является двухуровневый атом – кубит, который взаимодействует  с одной модой квантованного электромагнитного поля в резона­торе. В настоящее время на основе сверхпроводящих материалов созданы резонаторы микроволнового диапазона, обладающие, как принято говорить, боль­шим фактором добротности. При низких температурах, порядка одного градуса по шкале  Кельвина, время жизни фотона в них составляет от нескольких сотен микросекунд до нескольких миллисекунд. Это время гораздо больше времени взаимо­действия поля и атома, пролетающего через резонатор с тепловой скоро­стью. Кроме того,  для экспериментов в микроволновой обла­сти чаще всего применяются так называемые ридберговские атомы, в которых валентный электрон находится в  высоковозбуждён­ном состоянии. Поэтому  такие атомы имеют большой дипольный момент и, тем самым, сильную связь с полем резонатора.

Изображенная на слайде №21 схема использовалась для демонстра­ции квантовых логических элементов в университете Эколь Нормаль (Париж). Атомы, испущенные источником, селектируются по скоростям, приготавливаются с помощью импульса классического микроволнового поля в том или ином состоянии – основном , либо возбужденном , либо в их суперпозиции, и направляются в сверхпроводящий резонатор, настроенный на частоту атомного перехода. Селекция по скоростям позволяет кон­тролировать время пролёта через резонатор, то есть время взаимодей­ствия. Детектор регистрирует число атомов  в основном и в возбуждённом состоянии.

Серия картинок в нижней части слайда иллюстрирует один из возможных  простых экспериментов, когда атом, первоначально находившийся  в основном состоянии, с помощью специального импульса классического микроволнового поля приготавливается в квантовой суперпозиции основного и возбужденного  состояний и  влетает в «пустой» резонатор, в котором нет фотонов.  Внутри резонатора происходят процессы излучения и поглощения квантов возбуждения. Так, излучение фотона сопровождается переходом атома из возбужденного состояния в основное. При определенном времени пролета через резонатор атом в результате оказывается в основном состоянии, а поле – в суперпозиции состояний  без фотона и с одним фотоном. Это означает, что квантовая информация атомного кубита оказывается записанной в полевом кубите. Далее,  эту информацию можно, например, считывать  вторым атомом, приготовленным в основном состоянии, так что поле резонатора возвращается в исходное вакуумное состояние,  а квантовая информация первого кубита оказывается записанной во втором кубите. Аналогичная схема может быть использована для приготовления и манипулирования нелокальным перепутыванием  состояний двух атомов, то есть для создания атомной ЭПР-пары. В экспериментах французской группы ЭПР-пары атомов возникали примерно с 60%-вероятностью, которая была ограничена  факторами, разрушающими когерентность. Подобным образом можно осуществить перепутывание макроскопических объектов – двух резонаторов с полем, через которые последовательно пролетает атом.

Слайд 22 Квантовое распределение ключа

Квантовая криптография является сегодня, пожалуй, единственной областью, где квантовые информационные технологии, демонстрирующие совершенно необычные с классической точки зрения возможности, настойчиво выходят в сферу практического применения. Законы квантовой информации позволяют реализовать абсолютно секретный коммуникационный канал. Суть в том, что если послание закодировано с помощью квантовых состояний цепочки кубитов, то злоумышленник, пытаясь его «подслушать», неизбежно нарушит само послание, так как измерение квантового состояния отдельного кубита, вообще говоря,  меняет  это состояние. Поэтому всегда можно проверить, пытался ли посторонний прочитать послание. Обычно секретность информации обеспечивается с помощью некоторого длинного двоичного числа - ключа, который используется в том или ином математическом алгоритме шифрования и дешифрования и, естественно, должен быть известен только отправителю и получателю. Тогда проблема конфиденциальности сводится к задаче секретной передачи ключа. В квантовой криптографии секретный ключ – цепочка кубитов - передается открытым способом по стандартному каналу связи, например, по волоконно-оптической линии, а о попытке перехватить его становится известно общающимся сторонам. Эту процедуру называют квантовым распределением ключа. Впервые метод распределения секретного ключа был предложен в 1984 году  Ч. Беннетом из IBM и Ж. Брассаром из Монреальского университета на основе цепочки поляризационных кубитов. Интересный метод квантового распределения ключа с использованием ЭПР–пар частиц, то есть на основе явления перепутывания квантовых состояний, был сформулирован в 1991 году А. Экертом. В настоящее время не только практически реализованы различные протоколы квантовой криптографии, но и появились

промышленные устройства для волоконно-оптических  линий связи.

 

Недавно большой международный коллектив авторов из Вены, Мюнхена и Бристоля сообщил об успешной экспериментальной реализации квантового протокола передачи ключа на расстояние 144км между Канарскими островами Ла Пальма и Тенерифе. Это изображено на слайде №22.  С помощью двух телескопов, то есть по каналу связи в свободном пространстве, направлялись слабые когерентные лазерные импульсы. Передача секретного ключа происходила со скоростью 42 бит/cек.

 

 

 

Слайд 23 Экспериментальная реализация протоколов квантовой информатики

В настоящее время усилия исследователей во многих мировых научных центрах направлены на экспериментальную реализацию протоколов квантовой информатики. Целый ряд полученных в этом направлении впечатляющих результатов, которые экспериментально подтверждают фундаментальные основы квантовой информатики и открывают реалистические перспективы её дальнейшего развития и практического применения, мы уже упомянули выше. Приведенная на слайде №23 таблица дает более полное представление о нынешней ситуации в создании того, что в обозримой перспективе, наверное,  можно будет с полным основанием назвать «квантовыми компьютерными технологиями».

 

Слайд 24 Дорожная карта

 

На сегодняшний день квантовая информатика синтезирует целый ряд актуальных областей современной фундаментальной и прикладной физики, дискретной математики и кибернетики, а также передовые достижения в области квантовых технологий. Границы этой области исследований оказываются чрезвычайно обширными и включают много взаимосвязанных дисциплин. Чтобы получить общее представление, можно  взглянуть на схематическую карту, представленную на слайде №24. Более жирными рамками выделены те вопросы, которых мы коснулись в этом докладе.  Для самостоятельного чтения можно рекомендовать следующие книги:

 

Физика квантовой информации/ Под ред. Д. Боумейстера, А. Экерта,

А. Цайлингера. –     М.: Постмаркет. 2002. – 376 с.

 

Нильсен М., Чанг И., Квантовые вычисления и квантовая информация

/ Пер. с англ. – М.: Мир, 2006 г. – 824 с.

 

Яковлев В.П., Кондрашин М.П. Элементы квантовой информатики.

– М.: МИФИ, 2004. – 80 с.

Кулик С.Д., Берков А.В., Яковлев В.П. Введение в теорию квантовых вычислений (методы квантовой механики в кибернетике):  учебное пособие.  –  В 2 кн.  –

М.: МИФИ, 2008. – 212с.,532с.

 

Назвав схему Дорожной картой, мы хотели подчеркнуть, что новое знание о природе, которое все отчетливее вырисовывается на стыке квантовой механики и теории информации, сулит обильную пищу для молодых и пытливых умов.

 

Слайд 25 «Дхаммапада»

 

 

 

Это знание требует и изучения, и размышления, о которых говорит приведенная на заключительном   слайде №25 строфа из древнего буддийского источника, насчитывающего более двух тысяч лет.