Уравнение Шредингера в матричном виде

Материал из theor
Перейти к: навигация, поиск

Постановка задачи

Имеется гамильтониан вида <math> H=H_0+V\ </math>,где <math> H_0=T+U\ </math>,а <math> V\ </math> считаем малой поправкой к <math> H_0\ </math>.Считаем,что решения уравнения вида <math> H_0\psi^{(0)}=E^{(0)}\psi^{(0)}\ </math> нам известны.Так же предполагаем,что расчеты ведутся в дискретной области спектра.Оператор <math> H_0 </math> имеет вырожденные собственные значения.Требуется найти приближенные решения уравнения <math> H\psi=E\psi\ </math>.

Теория

Данная задача решается по теории возмущения.Раскладываем функцию <math> \psi </math> по функциям <math> \psi^{(0)}\ </math>:

<math> \psi=\sum_m c_m \psi_m^{(0)} (1)</math>

Подставляем разложение в уравнение <math> H\psi=E\psi\ </math> и получаем:

<math> \sum_m(E_m^{(0)}-V)\psi_m^{(0)}=\sum_m c_m E\psi_m^{(0)} (2)</math>

Умножив это равенство с обеих сторон на <math> \psi_k^{*(0)}\ </math> и интегрируя по всему пространству получим:

<math> (E-E_k^{(0)})c_k=\sum_m V_{km} c_m (3)</math>,

где

<math> V_{km}=\int\psi_k^{(0)}V\psi_m^{(0)*}dq </math>

Значения <math>E</math> и <math> c_m </math> будем искать в виде:

<math> c_m=c_m^{(0)}+c_m^{(1)}+c_m^{(2)}+...,</math>
<math> E=E^{(0)}+E^{(1)}+E^{(2)}+...,</math>

Теперь рассмотрим случай,когда оператор <math> H_0 </math> имеет вырожденные собственные значения.Собственные функции,относящиеся к одному и тому же собственному значению <math> E^{(0)}</math>,будем обозначать <math> \psi_n^{(0)}\ ,\psi_{n^'}^{(0)}\ ,... </math>.Выбор этих функций неоднозначен,но мы потребуем,чтобы малое изменение возмущения вызывало малый отклик. Тогда волновые функции в нулевом приближении будут иметь вид:

<math> c_n^{(0)}\psi_n^{(0)}+c_{n^'}^{(0)}\psi_{n^'}^{(0)}+...,</math>

Коэффициенты в этих комбинациях определяются,вместе с поправками первого приближения к собственным значениям.Выпишем уравнения (3) с <math> k=n,n^',... </math>,подставив в них в первом приближении <math> E=E_n^{(0)}+E^{(1)} </math>,причем для величин <math> c_k </math> достаточно ограничиться <math> c_n= c_n^{(0)}, c_{n^'}= c_{n^'}^{(0)},...;c_m=0 </math> при <math> m\ne n,n^',...</math>.Тогда получим:

<math> E^{(1)}c_n^{(0)}=\sum_{n^'} V_{n{n^'}} c_{n^'}^{(0)} </math>

или

<math> \sum_{n^'} (V_{n{n^'}}-E^{(1)}\delta_{n{n^'}})c_{n^'}=0 </math>,

где <math> n,n^'</math> пробегают значения,относящиеся к данному невозмущенному собственному значению <math> E_n^{(0)} </math>.

Эта система однородных линейных уравнений для величины <math> c_n^{(0)} </math> имеет отличные от нуля решения при условии обращения определителя:

<math> |V_{n{n^'}}-E^{(1)}\delta_{n{n^'}}|=0 (4) </math>

Порядок уравнения определяет степень вырождения энергии.Данное уравнение называется секулярным.

Решение

Последнее выражение является уравнением на собственные значения,степень которого определяется степенью вырождения энергии.Решение сводится к поиску собственных значений выражения (4).