Maple

Материал из theor
Перейти к: навигация, поиск

Фазовая теория рассеяния в Maple

Здесь используются кулоновские единицы: <math>\hbar = e = 1</math>

Потенциал и фазовая функция

Потенциал

Потенциал в таких задачах обычно выбирается таким, чтобы:

  • Быть сферически-симметричным:

<math>V(\textbf{r}) \equiv V(r)</math>

  • Иметь некоторый характерный размер <math>a</math>:

<math>V(r): r \gg a \Rightarrow V(r) \simeq 0</math>

Фазовая функция

Фазовая функция <math>\delta_{l}(r)</math> удовлетворяет нелинейному уравнению:

<math>\frac{\textrm{d}}{\textrm{d} r} \delta_{l}(r) = - 2 m k r^{2} V(r) [\cos{\delta_{l}(r)} j_{l}(k r) - \sin{\delta_{l}(r)} n_{l}(k r)]^{2}</math>

с граничным условием <math>\delta_{l}(0) = 0</math>

Здесь <math>j_{l}(x)</math> и <math>n_{l}(x)</math> - так называемые сферические функции Бесселя и Неймана, которые выражаются через обычные функции Бесселя следующим образом:

<math>j_{l}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2 x}} J_{l+{^1}/{_2}}(x),</math>

<math>n_{l}(x) = (-1)^{l+1} \sqrt{\frac{\pi}{2 x}} J_{-l-{^1}/{_2}}(x).</math>

Фаза рассеяния

В аппарате фазовых функций фаза рассеяния соответствует пределу функции на больших расстояниях от центра рассеивающего поля <math>\delta_{l} = \lim\limits_{r \rightarrow \infty} \delta_{l}(r)</math>

Амплитуда и сечение рассеяния

Из курса квантовой механики известно, что амплитуда рассеяния <math>f(\mathbf{k}, \mathbf{k'}) \equiv f(\theta)</math> - это коэффициент, определяющий свойства волновой функции рассеяной частицы:

<math>\Psi(\textbf r) = e^{ i \mathbf{k r}} + \frac{f(\mathbf{k}, \mathbf{k'})}{r} e^{i \mathbf{k' r}}.</math>

Таким образом можно найти угловое распределение сечения рассеяния, взяв квадрат модуля от амплитуды рассеяния

<math>\frac{\mathrm{d} \sigma}{\mathrm{d} o} = |f(\theta)|^{2}.</math>

Фазовая теория рассеяния позволяет точно найти амплитуду. Оказывается, что вклады от различных моментов <math>l</math> полностью независимы и аддитивны. Тогда амплитуду процесса можно записать в виде суммы произведений изотропных парциальных амплитуд <math>f_{l}</math> на известные полиномы Лежандра <math>P_{l} (\cos{\theta})</math> соответствующих степеней:

<math>f(\theta) = \sum\limits_{l=0}^{\infty} (2 l + 1) f_{l} P_{l} (\cos{\theta})</math>,

Парциальные амплитуды определяются простым образом:

<math>f_{l} = \frac{1}{2ik}(e^{2i \delta_{l}}-1)</math>

На практике для достижения достаточной точности нужно учитывать несколько первых моментов.

Такой подход универсален, однако обладает рядом существенных недостатков.

Например, при достаточно больших энергиях налетающей частицы существенны вклады от многих моментов - например, при <math>ka \gg 1</math> (в пределе теории возмущений) нужно учитывать достаточно большое количество моментов: <math>l_{char} \sim \sqrt{2 m E} a \equiv ka</math> В таких случаях борновское приближение оказывается "спасительной соломинкой".

Задачи

Задача 1: амплитуда и сечение

Выбрав реалистический потенциал, решить уравнение для фазовой функции <math>\delta_{l}(r)</math> для нескольких <math>l \sim ka</math>, построить график решения. Убедиться, что при <math>r>>a \Rightarrow \delta_{l}(r)=\delta_{l}=\mathrm{const}</math>.

Найти и построить график <math>f(\theta); \frac{\mathrm d \sigma}{\mathrm d o}</math>. Вычислить полное сечение <math>\sigma_{tot} = \int \frac{\mathrm d \sigma}{\mathrm d o}\, do</math>.

Провести аналогичный расчет для разных величин(глубины/высоты) потенциала. Понять и объяснить, как меняются параметры амплитуды и сечения в зависимости от глубины.

Задача 2: оптическая теорема

Оптическая теорема гласит, что

<math>\Im{f(\mathbf{\mathbf{n,n}})} = \frac{k}{4\pi} \sigma_{tot},</math>

где <math>f(\mathbf{\mathbf{n,n}}) = f(\mathbf{\theta = 0}).</math>

Оптическая теорема является непосредственным следствием требования унитарности S-матрицы и сохранения числа частиц. Задача заключается в численной проверке теоремы.

Существует также обобщение оптической теоремы:

<math>\Im{f(\mathbf{n,n'})} = \frac{k}{4\pi} \int f(\mathbf{n,n})f^{*}(\mathbf{n,n'})d\mathbf{n}</math>

Нужно проверить и это обобщение.

Задача 3: квазиклассическое приближение

Длина рассеяния

В случае, когда <math>ka \ll 1</math> оказывается, что все фазы <math>\delta_{l}</math> оказываются малыми по сравнению с фазой <math>\delta_{0}</math> и амплитуда рассеяния <math>f(\theta) \simeq f_{0} \simeq \frac{\delta_{0}}{k} = - \alpha</math>.

Величина <math>\alpha</math> называется длиной рассеяния и характеризует сечение рассеяных частиц:

<math>\sigma = 4 \pi \alpha^{2}</math>
.

Она может быть как положительной (барьер), так и отрицательной (яма).

Оказывается, что при малых энергиях величина сечения не зависит от энергии и изотропна (на практике, когда величина <math>a</math> велика (порядка нескольких боровских радиусов, например), то постоянство сечения имеет место только в узком интервале энергий).

Задача: рассчитать длину рассеяния, построить ее график как функции энергии, убедится в ее плавности.

Резонансное рассеяние

Предположим, что частица рассеивается на потенциальной яме, в которой близко к континууму имеется допустимый уровень энергии, т.е. имеется стационарное состояние с величиной энергии <math> |E_{n_{0}}| \equiv |\epsilon| \ll U_{0} </math>.

Можно показать, что при энергии налетающей частицы, близкой к энергии уровня, существует резкий максимум сечения рассеяния как функции энергии. Данный максимум имеет брейт-вигнеровскую форму, типичную для резонансов.

Задача: построить сечение как функцию энергии и показать, что этот максимум действительно существует.

Эффект Рамзауэра-Таунсенда

Эффект открыт Рамзауэром и независимо Таунсендом в 1921 г. и является одним из первых опытов, объясненных с помощью квантовой механики. Сущность эффекта заключается в том, что при некоторых энергиях налетающей частицы (достаточно малых, чтобы амплитуда <math>\delta_{0}</math> превалировала) сечение рассеяния становится аномально маленьким. Причина заключается в том, что при этих энергиях фаза рассеяния становится равной целому числу <math>\pi</math> и ведущий член амплитуды рассеяния обращается в нуль. Физически это соответствует возникновению дифракционного максимума за рассеивателем. Аналогом этого эффекта в оптике является пятно Пуассона.

Задача: построить график сечения s-рассеяния медленных частиц на глубокой яме и подтвердить наличие минимумов рассеяния, соответствующих обращению фазы в целое число <math>\pi</math>.

Задача 4: борновское приближение

В случае быстрых частиц, т.е. в случае <math>ka \gg 1</math>, или, что эквивалентно, <math>|U| \ll \frac{\hbar^2}{ma^2}ka</math>, все фазы рассеяния оказываются практически одного порядка; поэтому в ряде для амплитуды нужно учесть большое число слагаемых. Однако существует независимый метод получения результатов в этой области: борновское приближение.

Борновское приближение является применением теории возмущений к задаче рассеяния частиц. В указанной области энергии частиц, ограничившись первым порядком теории возмущения в уравнении Шредингера, можно получить, что

<math>\psi^{(1)} \simeq - \frac{m}{2 \pi} \frac{e^{i k R}}{R} \int U(r') e^{i \mathbf{(k-k')r'}}\ dV'.</math>

Тогда для амплитуды рассеяния имеем:

<math>f=-\frac{m}{2\pi} \int U(r) e^{i \mathbf{(k-k')r}}\ dV</math>.

Воспользуемся сферическими координатами, направив полярную ось в направлении вектора <math>\mathbf q = \mathbf{k-k'}.</math> Произведя интегрирование, получим окончательный ответ для амплитуды:

<math>f(\theta) = - 2m \int\limits_{0}^{\infty} U(r) \frac{\sin{qr}}{q} r\ dr,</math>

где <math>q(\theta) = 2k \sin{\frac{\theta}{2}}</math>

Задача: рассчитать точное сечение и сечение, пользуясь борновским приближением. Показать на графике, в каких областях энергии они друг с другом совпадают или достаточно близки.

Задача 5: псевдопотенциал

Псевдопотенциал - это прямоугольный потенциал с так подобранной шириной, что величина фаз совпадает с величиной фаз, получаемых при расчете на реальном потенциале. С помощью фазовой теории теории рассеяния можно легко определить параметры прямоугольного потенциала.

Смысл этого потенциала в том, что при небольшой энергии этого потенциала можно всюду пользоваться теорией возмущений для более сложных задач, т.к. наблюдаемые величины в псевдопотенциале будут слабо отличаться от "истинных".

Задача: подобрать для потенциала из задачи 1 такие параметры и сравнить величины сечений.

Литература

  • Колодаееро Ф. Метод фазовых функций.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика т.3 - квантовая механика(нерелятивистская теория).
  • Шифф Л. Квантовая механика
  • Базь А. И., Зельдович Я. Б., Переломов А. М. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике